Neu entdeckte mathematische „Einstein“-Form erzeugt ein Niemals

Eine neue Form namens Einstein hat die Mathematikwelt im Sturm erobert. Die schroffe, hutförmige Fliese kann eine unendliche Fläche mit Mustern bedecken, die sich nie wiederholen.

Das kreative Verfliesen eines Badezimmerbodens ist nicht nur für Heimwerker eine stressige Aufgabe. Es ist auch eines der schwierigsten Probleme in der Mathematik. Seit Jahrhunderten erforschen Experten die besonderen Eigenschaften von Fliesenformen, die Böden, Küchenrückwände oder unendlich große Flächen lückenlos verkleiden können. Mathematiker sind insbesondere an Kachelformen interessiert, die die gesamte Fläche abdecken können, ohne jemals ein sich wiederholendes Muster zu erzeugen. In diesen Sonderfällen, die als aperiodische Kacheln bezeichnet werden, gibt es kein Muster, das Sie kopieren und einfügen können, um die Kachelung aufrechtzuerhalten. Ganz gleich, wie Sie das Mosaik zerteilen, jeder Abschnitt wird einzigartig sein.

Bisher waren für aperiodische Kacheln immer mindestens zwei Kacheln unterschiedlicher Form erforderlich. Viele Mathematiker hatten bereits die Hoffnung aufgegeben, eine Lösung mit einer Kachel zu finden, die als schwer fassbare „Einstein“-Kachel bezeichnet wird, deren Name von den deutschen Wörtern für „ein Stein“ abgeleitet ist.

Dann, im vergangenen November, gelang dem pensionierten Drucksystemingenieur David Smith aus Yorkshire, England, ein Durchbruch. Er entdeckte eine 13-seitige, schroffe Form, von der er glaubte, dass es sich um eine Einstein-Fliese handeln könnte. Als er es Craig Kaplan, einem Informatiker an der University of Waterloo in Ontario, erzählte, erkannte Kaplan schnell das Potenzial der Form. Zusammen mit dem Softwareentwickler Joseph Samuel Myers und dem Mathematiker Chaim Goodman-Strauss von der University of Arkansas bewies Kaplan, dass Smiths einzigartige Kachel die Ebene tatsächlich ohne Lücken und ohne Wiederholungen pflastert. Noch besser war, dass Smith nicht nur eine, sondern unendlich viele Einstein-Kacheln entdeckt hatte. Das Team berichtete kürzlich über seine Ergebnisse in einem Artikel, der auf dem Preprint-Server arXiv.org veröffentlicht wurde und noch nicht von Experten begutachtet wurde.

Jeder, der durch die atemberaubenden Mosaikkorridore des Alhambra-Palastes in Granada, Spanien, gelaufen ist, kennt die Kunstfertigkeit, ein Flugzeug zu kacheln. Aber solche Schönheit birgt unbeantwortbare Fragen – Fragen, die, wie der Mathematiker Robert Berger 1966 feststellte, nachweislich unbeweisbar sind.

Angenommen, Sie möchten eine unendliche Fläche mit unendlich vielen quadratischen Fliesen belegen. Dabei gilt es jedoch eine Regel zu beachten: Die Kanten der Spielsteine ​​sind farbig und nur gleichfarbige Kanten dürfen sich berühren.

Bei unendlich vielen Kacheln beginnen Sie mit dem Ablegen von Teilen. Sie finden eine Strategie, von der Sie denken, dass sie funktionieren wird, aber irgendwann geraten Sie in eine Sackgasse. Es entsteht eine Lücke, die Sie einfach nicht mit den verfügbaren Kacheln füllen können, und Sie sind gezwungen, nicht übereinstimmende Kanten nebeneinander zu platzieren. Spiel vorbei.

Aber wenn Sie die richtige Fliese mit der richtigen Farbkombination hätten, hätten Sie sicher aus der Klemme kommen können. Vielleicht benötigen Sie beispielsweise nur eine Fliese, bei der alle Kanten die gleiche Farbe haben. Ein Mathematiker würde sich Ihr Spiel ansehen und fragen: „Können Sie allein anhand der Arten von farbigen Spielsteinen, die Ihnen zu Beginn gegeben wurden, feststellen, ob Sie in eine Sackgasse geraten? Das würde Ihnen sicherlich viel Zeit sparen.“

Die Antwort lautet laut Berger nein. Es wird immer Fälle geben, in denen man nicht vorhersagen kann, ob man die Fläche lückenlos abdecken kann. Der Übeltäter: die unvorhersehbare, sich nicht wiederholende Natur aperiodischer Kacheln. Berger fand in seiner Arbeit einen unglaublich großen Satz von 20.426 verschiedenfarbigen Fliesen, der eine Fläche pflastern kann, ohne dass sich das Farbmuster jemals wiederholt. Und was noch besser ist: Es ist physikalisch unmöglich, mit diesem Fliesensatz ein sich wiederholendes Muster zu bilden, egal wie man sie verlegt.

Diese Entdeckung warf eine weitere Frage auf, die Mathematiker seitdem beschäftigt: Wie viele Kachelformen müssen mindestens zusammen eine aperiodische Tessellation ergeben?

In den folgenden Jahrzehnten fanden Mathematiker immer kleinere Kachelsätze, mit denen aperiodische Mosaike entstehen konnten. Zunächst fand Berger eines mit 104 verschiedenen Kacheln. Dann fand 1968 der Informatiker Donald Knuth ein Beispiel mit 92. Ein Jahr später fand der Mathematiker Rafael Robinson eine Variante mit nur sechs Kacheltypen – und schließlich präsentierte der Physiker Roger Penrose 1974 eine Lösung mit nur zwei Kacheln.

Dann kam der Fortschritt ins Stocken. Viele Mathematiker haben seitdem nach der Einzelkachellösung, dem „Einstein“, gesucht, aber keinem war es gelungen – einschließlich Penrose, der seine Aufmerksamkeit schließlich anderen Rätseln zuwandte. Doch David Smith, der 64-jährige Rentner, hatte nicht aufgegeben. Laut der New York Times spielte er gern mit dem PolyForm Puzzle Solver herum, einer Software, mit der Benutzer Kacheln entwerfen und zusammenbauen können. Wenn eine Form vielversprechend aussah, schnitt Smith mehrere Puzzleteile aus Papier aus, um damit zu experimentieren. Dann, im November 2022, stieß er auf die mittlerweile berühmte Kachel, die er wegen ihrer Zylinderform „Hut“ nannte – obwohl Kaplan betont, dass viele denken, sie sehe eher wie ein T-Shirt aus.

Als Kaplan eine E-Mail von Smith mit dem „Hut“ erhielt, weckte dies schnell sein Interesse. Mit Hilfe einer Software ordnete er immer mehr hutförmige Kacheln aneinander, und es schien, als könnten sie tatsächlich die Fläche bedecken, ohne ein sich wiederholendes Muster zu bilden.

Aber ein solches sich wiederholendes Muster könnte immer noch sichtbar werden, wenn er weiterhin Fliesen verlegen würde – vielleicht würde ein überflüssiger Teil erst dann auftauchen, wenn das Flugzeug mehrere Lichtjahre lang wäre. Die Forscher mussten mathematisch beweisen, dass die Kacheln aperiodisch waren. Kaplan wandte sich an Myers und Goodman-Strauss, die sich in der Vergangenheit intensiv mit Fliesenarbeiten beschäftigt hatten.

Zunächst waren sie von der Einfachheit der potenziellen Einstein-Fliese überrascht, da der „Hut“ eine recht einfache 13-seitige Form hat. Wenn Sie Goodman-Strauss zuvor gefragt hätten, wie eine schwer fassbare Einstein-Fliese aussehen würde, „hätte ich irgendein verrücktes, verschnörkeltes, fieses Ding gezeichnet“, sagte er gegenüber Science News. Und als die Mathematiker die Form genauer betrachteten, erkannten sie, dass sie mit den Längen der Seiten spielen und dennoch ein nahtloses, aperiodisches Mosaik erzeugen konnten. Diese eine Form hatte die Tür zu einer unendlichen Anzahl von Einstein-Kacheln geöffnet.

Die Mathematiker brauchten handfeste Beweise, um ihre Behauptungen zu untermauern. Erstens verwendeten sie Methoden, auf die sich Experten seit Jahrzehnten verlassen, um zu zeigen, dass bestimmte Arten von Fliesen aperiodische Mosaike erzeugen können. Aber Myers ging auch über diese alten Methoden hinaus und entwickelte eine völlig neue Möglichkeit, dies zu beweisen, die auch für andere Kacheln nützlich sein könnte.

Die bewährte Methode lässt sich am besten anhand von Robinsons Sechs-Kacheln-Set aus dem Jahr 1969 erklären. Die auf Robinsons Kacheln gezeichneten orangefarbenen und grünen Linien funktionieren wie die farbigen Kanten im vorherigen Beispiel mit unendlichen Quadraten. Auch hier sind die Regeln einfach: Zwei Robinson-Plättchen können nur dann nebeneinander gelegt werden, wenn die grünen und orangen Linien nahtlos verlaufen.

Das Befolgen dieser Regel führt zu einem erkennbaren Muster, das aus immer größeren orangefarbenen Quadraten besteht. Wenn Sie weiter herauszoomen, werden die Quadrate immer größer und überschneiden sich. Dadurch entsteht eine hierarchische Struktur, in der jeder Teil des Mosaiks seinen einzigartigen Platz hat. Sie können keine Abschnitte verschieben oder austauschen, ohne gegen die Regeln zu verstoßen und die Struktur zu zerstören. Dies sagt uns, dass die Tessellation aperiodisch sein muss.

Kaplan, Goodman-Strauss und Myers konnten etwas Ähnliches für die von Smith vorgeschlagene hutförmige Einstein-Fliese zeigen. Um die Arbeit mit der Kachel zu erleichtern, haben sie die schroffen Kanten des Hutes geglättet, sodass sie besser erkennbare und nützlichere Formen annehmen – eine einzelne Hutkachel kann beispielsweise durch ein Dreieck angenähert werden. Sie verwendeten auch Cluster aus mehreren Einstein-Kacheln, um unterschiedliche Formen zu erzeugen. Sie könnten vier Hutplättchen zu einer sechseckigen Struktur anordnen, zwei Plättchen zu einem Fünfeck und eine weitere Kombination aus zwei Plättchen zu einem Parallelogramm. Diese vier geglätteten Formen, die jeweils nur aus Einstein-Kacheln bestanden, konnten dann die Fläche in einem Muster vollständig bedecken.

Die Mathematiker bewiesen, dass diese Kacheln keine sich wiederholenden Muster enthielten, da diese vier Sonderformen, genau wie Robinsons Satz aus sechs Kacheln, hierarchische Strukturen bildeten. Wenn Sie diese vier Einstein-Kachelcluster (Sechseck, Fünfeck, Parallelogramm und Dreieck) zusammen anordnen, entsteht unweigerlich eine größere Version derselben Formen. Wenn Sie dann diese größeren Formen miteinander kombinieren, erstellen Sie noch größere Versionen dieser Formen und so weiter. Dieser Vorgang kann unbegrenzt wiederholt werden, wodurch eine hierarchische Struktur entsteht. Daher kann das Gesamtmuster nicht in sich wiederholende Abschnitte unterteilt werden. Wenn Sie Teile des Musters einfach an eine andere Stelle verschieben würden, würde die übergreifende Struktur zerstört.

Dieser Beweis erforderte einige komplexe Berechnungen, weshalb die drei Wissenschaftler die Hilfe eines Computers in Anspruch nahmen. Sie gaben ihren computergestützten Beweis frei heraus, damit jeder ihn auf Fehler überprüfen konnte.

Aber Myers war noch nicht zufrieden. Er entwickelte eine neue Methode zum Nachweis der Aperiodizität, die manuell und ohne Computer durchgeführt werden konnte, indem er zeigte, dass der Einstein-Hut mit anderen bekannten Kacheln zusammenhängt, die leichter zu studieren sind. Diese verwandten Kacheln bestehen aus sogenannten Polyiamanten, einfachen Kacheln, die durch die Kombination gleichseitiger Dreiecke gebildet werden. Myers hat einige Kanten des Einstein-Hutes angepasst, um zwei verschiedene Polyiamant-Anordnungen zu bilden, die dem gleichen Kachelmuster des Hutes folgen – eine hat die Form eines Chevrons und die andere die Form eines zusammengefügten Sechsecks und einer Raute. Trotz ihrer optischen Unterschiede haben diese drei Anordnungen alle die gleichen Eigenschaften. Wenn die Mathematiker beweisen könnten, dass beide Polyiamond-Kacheln aperiodisch sind, dann müsste auch die ursprüngliche Kachelung aperiodisch sein.

Glücklicherweise ist dieser Beweis bei Polyiamanten eine Frage der einfachen Mathematik. Mathematiker können die Symmetrien von Polyiamond-Anordnungen mit einer Größe darstellen, die als Translationsvektor bezeichnet wird. Wenn die beiden neuen Anordnungen sich wiederholende Muster enthielten, hätte die Länge ihrer Übersetzungsvektoren miteinander in Beziehung stehen müssen – insbesondere hätte ihr Verhältnis eine rationale Zahl sein müssen. Aber stattdessen hatten die Vektoren ein Verhältnis der Quadratwurzel von 2 – definitiv eine irrationale Zahl – was zeigt, dass die Polyiamant-Anordnungen nicht periodisch waren. Daher handelte es sich bei der ursprünglichen Hutkachel tatsächlich um einen Einstein.

Myers‘ neue Beweismethode könnte auch für andere Parkettierungen hilfreich sein, erläutern die Wissenschaftler in ihrer Arbeit. Doch im Moment freuen sich sowohl erfahrene als auch Hobby-Fliesenleger einfach darauf, die lang erwartete Einstein-Fliese in den Händen zu halten. Die Möglichkeiten der Inneneinrichtung sind buchstäblich grenzenlos. Der Mathematiker Colin Adams vom Williams College sagte gegenüber New Scientist: „Ich würde es in mein Badezimmer stellen, wenn ich es jetzt mit Fliesen verlegen würde.“

Dieser Artikel erschien ursprünglich im Spektrum der Wissenschaft und wurde mit Genehmigung reproduziert.

Manon Bischoff ist theoretischer Physiker und Herausgeber bei Spektrum, einer Partnerpublikation von Scientific American. Bildnachweis: Nick Higgins

Manon Bischoff

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